Question

討論函數f(x)＝的單調性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：∵f(x)的定義域為R，令u＝x²－2x，則f(u)＝()^u，又∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1在(－∞，1]上是減函數，即當x₁＜x₂≤1時，有u₁＞u₂．

　　又∵f(u)＝()^u在其定義域內為減函數，∴f(u₁)＜f(u₂)．

　　∴函數f(x)在(－∞，1]內是增函數．

　　同理可得，f(x)在[1，＋∞)內為減函數，又∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1，∴u≥－1．

　　又∵f(u)＝()^u在[－1，＋∞)上是減函數，∴0＜f(u)≤()^－1，即f(x)的值域為(0，2]．

　　點評：對于形如y＝a^f(x)(a＞0且a≠1)一類的函數，有以下結論：

　　(1)函數y＝a^f(x)的定義域與f(x)的定義域相同．

　　(2)先確定函數f(x)的值域，再根據指數函數的值域，單調性，可確定函數y＝a^f(x)的值域．

　　(3)當a＞1時，函數y＝a^f(x)與函數f(x)的單調性相同；0＜a＜1時，函數y＝a^f(x)與函數f(x)的單調性?相反．

提示：

函數f(x)＝可認為由函數y＝()^u與u＝x²－2x“復合”而成，因而單調性、值域要統籌考慮二次函數u＝x²－2x和指數函數y＝()^u的性質，然后作出解答．