Question

討論函數f(x)＝的單調性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法1：∵函數f(x)的定義域(－∞，＋∞)，設x₁，x₂∈(－∞，＋∞)且有x₁＜x₂．

　　∴f(x₂)＝，．

　　．

　　(1)當x₁＜x₂≤1時，x₁＋x₂＜2即有x₁＋x₂－2＜0．

　　又∵x₂－x₁＞0，∴(x₂－x₁)(x₂＋x₁－2)＜0，則知＞1，又對于x∈R，f(x)＞0恒成立．

　　∴f(x₂)＞f(x₁)．所以，函數f(x)在(－∞，1]上單調遞增．

　　(2)當1≥x₁＜x₂時，x₁＋x₂＞2即有x₁＋x₂－2＞0．

　　又∵x₂－x₁＞0，∴(x₂－x₁)(x₂＋x₁－2)＞0，則知

　　所以，函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增．

　　綜上，函數f(x)在區間(－∞，1]上是增函數；在區間[1，＋∞)上是減函數．

　　∵x²－2x＝(x－1)²－1≥－1，，．

　　所以，函數f(x)的值域為(0，3]

　　

　　思想方法小結：(1)在只有一個中間函數的復合函數中，若原函數與中間函數單調性相同，則復合函數為增函數；若原函數與中間函數單調性相異，則復合函數為減函數．(2)利用函數的單調性來求它的值域，也是求函數值域的一種方法．

提示：

　　思路分析1：對于x∈R，＞0恒成立，因此可以通過作商討論函數f(x)的單調區間．

　　思路分析2：此函數是由指數函數及二次函數復合而成的函數，因此可以通過逐層討論它的單調性，綜合得到結果．