Question

已知二面角α-l-β的大小為60°，點B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（　　）

• A．

  5

  10

• B．

  10

  10

• C．

  2

  4

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：如圖所示：作DE∥AB，由題意可得AE⊥平面ABC，ABDE為平行四邊形，△CDE中，由余弦定理求得cos∠CDE 的值，
即為所求．

解答：解：如圖所示：作DE∥AB，且DE=AB，連接 AE、ED、CD．
∵二面角α-l-β的大小為60°，點B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，
∴AE⊥平面ABC，∠ABC=60°，故△ABC是等邊三角形，故AC=1．AE=BD=2，且ABDE為平行四邊形．
∴CE=

CA2+AE2

=

5

．再由 CD=

CB2+BD2

=

5

，DE=AB=1，
在△CDE中，由余弦定理可得 5=1+5-2×1×

5

cos∠CDE，
故cos∠CDE=

5

10

，即異面直線AB與CD所成角的余弦值為

5

10

，
故選A．

點評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關鍵，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．