Question

16．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1\begin{array}{l}，{\;\;x}\end{array}≤0，\\{log_2}x\begin{array}{l}，{x＞0，}\end{array}\end{array}$則函數g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$的零點個數是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 作出函數的圖象，先求出f（x）=$\frac{1}{2}$的根，然后利用數形結合轉化為兩個函數的交點個數即可．

解答 解：作出函數f（x）的圖象如圖：
當x≤0時，由f（x）=$\frac{1}{2}$得x+1=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
當x＞0時，由f（x）=$\frac{1}{2}$得log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
由g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$=0得f（f（x））=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=-$\frac{1}{2}$或f（x）=$\sqrt{2}$，
若f（x）=-$\frac{1}{2}$，此時方程f（x）=-$\frac{1}{2}$有兩個交點，
若f（x）=$\sqrt{2}$，此時方程f（x）=$\sqrt{2}$只有一個交點，
則數g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$的零點個數是3個，
故選：B

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用函數與方程的關系將條件轉化為兩個函數的交點問題是解決本題的關鍵．