Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$過點P（4，2），且它的漸近線與圓${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，則該雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{8}=1$
• C． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{12}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$過點P（4，2），且它的漸近線與圓${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，建立方程，求出a，b，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{|2\sqrt{2}b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{8}{3}}}\end{array}\right.$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故選A．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質，直線與圓相切的條件，以及點到直線的距離公式，考查方程思想，化簡、計算能力．