Question

如圖所示，有兩條相交成60°的直線xx′、yy′，其交點是O，甲、乙兩輛汽車分別在xx′、yy′上行駛，起初甲離O點30 km，乙離O點10 km，后來兩車均以60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行駛．
（1）起初兩車的距離是多少？
（2）t小時后兩車的距離是多少？
（3）何時兩車的距離最短？

Answer 1

【答案】分析：（1）先設甲、乙兩車最初的位置為A、B，將距離轉化為向量問題，然后利用向量的數量積運算求甲乙兩車的距離．
（2）設甲、乙兩車t小時后的位置分別為P、Q，則．利用余弦定理可得即=10km．
（3）由（2）得關于PQ的表達式，通過利用二次函數可探討其最大值．
解答：解：（1）設甲、乙兩車最初的位置為A、B，
則=||²+||²-2||||cos60°=700．
故=km=10km．
（2）設甲、乙兩車t小時后的位置分別為P、Q，
則．
當時，=（30-60t）²+（10+60t）²-2（30-60t）（10+60t）cos60°；
當時，=（60t-30）²+（10+60t）²-2（60t-30）（10+60t）cos120°．
上面兩式可統一為=10800t²-3600t+700，
即=10km．
（3）因為=10，
故當t=，即在第10分鐘末時，兩車距離最短，最短距離為20km．
點評：本題考查了向量在物理中的應用及余弦定理，通過設點將物理問題轉化為數學問題，靈活的考查了學生分析問題解問題的能了，是個中檔題．