Question

如圖所示，有兩條相交成60°的直線xx′、yy′，其交點是O，甲、乙兩輛汽車分別在xx′、yy′上行駛，起初甲離O點30 km，乙離O點10 km，后來兩車均以60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行駛．
（1）起初兩車的距離是多少？
（2）t小時后兩車的距離是多少？
（3）何時兩車的距離最短？

Answer 1

分析：（1）先設甲、乙兩車最初的位置為A、B，將距離轉化為向量問題，然后利用向量的數量積運算求甲乙兩車的距離．
（2）設甲、乙兩車t小時后的位置分別為P、Q，則|

AP

|=60t，|

BQ

|=60t．利用余弦定理可得即|

PQ

|=10

108t2-36t+7

km．
（3）由（2）得關于PQ的表達式，通過利用二次函數可探討其最大值．

解答：解：（1）設甲、乙兩車最初的位置為A、B，
則|

AB

|2=|(

OA

)|²+|(

OB

)|²-2|(

OA

)||(

OB

)|cos60°=700．
故|

AB

|=

700

km=10

7

km．
（2）設甲、乙兩車t小時后的位置分別為P、Q，
則|

AP

|=60t，|

BQ

|=60t．
當0≤t≤

1

2

時，|

PQ

|2=（30-60t）²+（10+60t）²-2（30-60t）（10+60t）cos60°；
當t＞

1

2

時，|

PQ

|2=（60t-30）²+（10+60t）²-2（60t-30）（10+60t）cos120°．
上面兩式可統一為|

PQ

|2=10800t²-3600t+700，
即|

PQ

|=10

108t2-36t+7

km．
（3）因為|

PQ

|=10

108t2-36t+7

，
故當t=

1

6

，即在第10分鐘末時，兩車距離最短，最短距離為20km．

點評：本題考查了向量在物理中的應用及余弦定理，通過設點將物理問題轉化為數學問題，靈活的考查了學生分析問題解問題的能了，是個中檔題．