Question

已知曲線C：f(x)＝x²，C上點A，A_n的橫坐標分別為1和a_n(n＝1，2，3…)，且a₁＝5，數列{x_n}滿足x_n+1＝tf(x_n－1)＋1(t＞0)，且()．設區間D_n＝[1，a_n](a_n＞1)當x∈D_n時，曲線C上存在點P_n(x_n，f(x_n))使得點P_n處的切線與直線AA_n平行．

(Ⅰ)證明：{log_t(x_n－1)＋1}是等比數列；

(Ⅱ)當D_n+1D_n對一切n∈N^*恒成立時，求t的取值范圍；

(Ⅲ)記數列{a_n}的前n項和為S_n，當時，試比較S_n與n＋7的大小，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵由線在點Pn的切線與直線AAn平行， 　　∴　　(1分) 　　由　　(2分) 　　∴ 　　即 　　∴是首項為2＋1為首項，公比為2的等比數列．　　(4分) 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得＝(2＋1)·2n－1， 　　∴ 　　從而an＝2xn－1＝1＋　　(6分) 　　由Dn+1Dn，得an+1＜an，即(2t)2n＜(2t)．　　(8分) 　　∴0＜2t＜1，即0＜t＜　　(9分) 　　(Ⅲ)當時，　　(10分) 　　∴ 　　不難證明：當n≤3時，2n－1≤n＋1；當n≥4時，2n－1＞n＋1．　　(11分) 　　∴當n≤3時，　　(12分) 　　當n≥4時， 　　　　(13分) 　　綜上所述，對任意的　　(14分)