Question

6．函數f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）判斷f（x）的單調性，并求f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當x≥1時，$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（Ⅱ）問題轉化為$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$≥x+1，求出x+1的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）_極大值=f（1）=1；
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：x≥1時，$\frac{1+lnx}{x}$的最小值是1，
故$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$≥x+1≥2，
故原不等式得證．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．