Question

（本小題滿分13分）己知函數

（1）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍；

（2）若是的極值點，求在上的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數b，使得函數的圖象與函數的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由

 

Answer 1

（1） ；（2） 在上的最大值為；（3）存在，實數b的取值范圍為且．

【解析】

試題分析：（1）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍，可利用導數法，故對函數求導函數，利用在區間上是增函數，可得在區間上恒成立，即在上恒成立，即，求出最小值，從而可求實數的取值范圍；（2）若是的極值點，求在上的最大值，先求出函數的解析式，可利用是的極值點，求出的值，再求出函數的極值，把極值同兩個端點的值進行比較得到最值；（3）在（2）的條件下，是否存在實數b，使得函數的圖象與函數的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由，這是探索性命題，一般假設其存在，本題假設存在實數b，使得函數的圖象與函數的圖象恰有3個交點，即恰有3個不等實根，注意到是其中一個根，只需有兩個不等零的不等實根．，可由二次方程得，從而可求的實數b的取值范圍．

試題解析：（1） 在［1，＋）單增 在［1，＋）上恒有即在上恒成立，則必有且 4分

（2），即，令

，則

x	1	（1,3）	3	（3,4）	4
		_	0	+
	-6		-18		-12

 

在［1，4］上最大值 8分

（3）函數的圖象與圖象恰有3個交點，即恰有3個不等實根，，其中是其中一個根

，有兩個不等零的不等實根．

∴， 且 13分

考點：函數單調性，函數最值，方程的根．