Question

【題目】我們把定義在上，且滿足（其中常數、滿足，，）的函數叫做似周期函數.

（1）若某個似周期函數滿足且圖象關于直線對稱，求證：函數是偶函數；

（2）當，時，某個似周期函數在時的解析式為，求函數，，的解析式；

（3）對于（2）中的函數，若對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用似周期函數的性質、圖像關于直線對稱，結合函數奇偶性的定義，證得，由此證得是偶函數.

（2）利用迭代的方法，求得，，的解析式.

（3）根據（2）中求得的解析式，畫出圖像和的圖像，確定的大致區間，令，求得對應的值，由此確定的取值范圍.

（1）依題意可知，函數的定義域為，關于原點對稱.由于圖像關于對稱，故①.又，即②，用代替得③.由①②③可知，而，，所以，故函數為偶函數.

（2）由于，，所以，得.

當時，；

當時，，；

當時，，；

當時，，；

……

以此類推，當時，.

同理，由于，，所以，得.

當時，，；

當時，，；

……

以此類推，當時，.

綜上所述，當，時，

（3）由（2）畫出的圖像、函數圖像如下圖所示.由圖可知，從左往右，從開始，與圖像有交點.由（2）知，當時， ；令，解得或.結合圖像可知，要使對任意，都有，則.故的取值范圍是