【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，E，F分別為AB的三等分點，
，若沿著FG，ED折疊使得點A和B重合，如圖2所示，連結GC，BD.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）折疊后由于
，因此取
中點
，有
，只要再證得與平面
內的另一條直線垂直即可得線面垂直，從而有面面垂直。為此再取
中點
，先證
，再證得
，那么命題由此可證；
（2）以
為
軸，
為
軸，建立解析中的空間直角坐標系，寫出各點坐標，求得平面
和平面
的法向量，由法向量的夾角求得二面角。
（1）取BD，BE的中點分別為O，M，連結GO，OM，MF.
且
，又因為
且
，所以
且
，故四邊形OGFM為平行四邊形，故
.因為M為EB中點，三角形BEF為等邊三角形，故
，因為平面EFB
平面BCDE，故
平面，因此
平面，故平面
平面BCDE；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，
，
，
則
，
，
，
設平面CDG的法向量為
，
則
，即
，
令
得
；
設平面CBG的法向量為
，
則
，
即
，
令
得
.
，
故二面角
的余弦值為.
特高級教師點撥系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某教師為了分析所任教班級某次考試的成績，將全班同學的成績作成統計表和頻率分布直方圖如下：
分組 | 頻數 | 頻率 |
[50，60) | 3 | 0.06 |
[60，70) | m | 0.10 |
[70，80) | 13 | n |
[80，90) | p | q |
[90，100] | 9 | 0.18 |
總計 | t | 1 |
(1)求表中t，q及圖中a的值；
(2)該教師從這次考試成績低于70分的學生中隨機抽取3人進行談話，設X表示所抽取學生中成績低于60分的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】據報道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點，一時間“英語考試該如何改革”引起廣泛關注，為了解某地區學生和包括老師、家長在內的社會人士對高考英語改革的看法，某媒體在該地區選擇了3600人進行調查，就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調查統計，結果如下表：
態度 調查人群 | 應該取消 | 應該保留 | 無所謂 |
在校學生 | 2100人 | 120人 |
|
社會人士 | 600人 |
|
|
（1）已知在全體樣本中隨機抽取
人，抽到持“應該保留”態度的人的概率為
，現用分層抽樣的方法在所有參與調查的人中抽取
人進行問卷訪談，問應在持“無所謂”態度的人中抽取多少人？
（2）在持“應該保留”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取
人，再平均分成兩組進行深入交流，求第一組中在校學生人數
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們把定義在
上，且滿足
（其中常數
、
滿足
，
，
）的函數叫做似周期函數.
（1）若某個似周期函數
滿足
且圖象關于直線
對稱，求證：函數
是偶函數；
（2）當，
時，某個似周期函數在
時的解析式為
，求函數，
，
的解析式；
（3）對于（2）中的函數，若對任意
，都有
，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足
.
（1）證明：數列為等差數列；
（2）設數列的前n項和為
，若
，且對任意的正整數n，都有
，求整數
的值；
（3）設數列
滿足
，若
，且存在正整數s，t，使得
是整數，求
的最小值.
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