Question

3．已知關于x的不等式x²-4ax+3a²＜0（a＜0）的解集為（x₁，x₂），則${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據不等式x²-4ax+3a²＜0（a＜0）的解集為（x₁，x₂），利用韋達定理求出${x}_{1}{x}_{2}=3{a}^{2}$，x₁+x₂=4a，帶入利用基本不等式的性質求解．

解答 解：不等式x²-4ax+3a²＜0（a＜0）的解集為（x₁，x₂），
根據韋達定理，可得：${x}_{1}{x}_{2}=3{a}^{2}$，x₁+x₂=4a，
那么：${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$=4a+$\frac{1}{3a}$．
∵a＜0，
∴-（4a+$\frac{1}{3a}$）≥2$\sqrt{4a×\frac{1}{3a}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即4a+$\frac{1}{3a}$≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
故${x_1}+{x_2}+\frac{a}{{{x_1}{x_2}}}$的最大值為$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及根與系數的關系，同時考查了基本不等式的性質的運用的能力和計算能力，屬于中檔題．