Question

3．直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（其中t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²-2mρcosθ-4=0（其中m＞0）
（1）點M的直角坐標為（2，2），且點M在曲線C內，求實數m的取值范圍；
（2）若m=2，當α變化時，求直線被曲線C截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的直角坐標方程，由點M在曲線C的內部，能求出實數m的取值范圍．
（2）直線l的極坐標方程為θ=α，代入曲線C的極坐標方程，得ρ²-4ρcosα-4=0，設直線l與曲線C的兩個交點對應的極徑分別為ρ₁，ρ₂，利用韋定理、弦長公式能求出直線l與曲線C截得的弦長的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ²-2mρcosθ-4=0（其中m＞0），
∴曲線C的極坐標方程對應的直角坐標方程為x²+y²-2mx-4=0，
即（x-m）²+y²=m²+4，
由點M在曲線C的內部可得（2-m）²+2²＜m²+4，解得m＞1，
即實數m的取值范圍是（1，+∞）．（5分）
（2）直線l的極坐標方程為θ=α，代入曲線C的極坐標方程并整理可得
ρ²-4ρcosα-4=0，
設直線l與曲線C的兩個交點對應的極徑分別為ρ₁，ρ₂，則ρ₁+ρ₂=4cosα，ρ₁ρ₂=-4．
則直線l與曲線C截得的弦長為
|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{16co{s}^{2}α+16}$∈[4，4$\sqrt{2}$]，
即直線l與曲線C截得的弦長的取值范圍是[4，4$\sqrt{2}$]．（10分）

點評 本題考查實數的取值的求法，考查張長的取值范圍的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化、韋達定理、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．