Question

【題目】定義：如果函數在定義域內給定區間上存在，滿足 ，則稱函數是上的“平均值函數”，是它的均值點.

（1）是否是上的“平均值函數”，如果是請找出它的均值點；如果不是，請說明理由；

（2）現有函數是上的平均值函數，則求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）它的均值點為；（2）.

【解析】

（1）利用結合的解有且只有，從而可得結果；（2）函數是上的平均值函數，求得，等價于關于的方程，即在內有實數根，令，可得，討論的符號，結合零點存在定理與二次函數的圖象即可得結果.

（1）又由于的解有且只有，所以是上的“平均值函數”，且它的均值點為；

（2）因為函數是上的平均值函數，所以，即關于的方程在內有實數根，即在內有實數根，

令，則，

當，即時，函數在有一個零點，滿足條件；

當，即時，方程根為，滿足條件；

當，即時，要使得方程在內有實數根，則且函數的對稱軸在上，即，解得；

綜上：.