Question

已知函數f(x)在其定義域上是單調函數，證明f(x)至多有一個零點．

Answer 1

答案：
解析：

證明：假設f(x)＝0至少有兩個不同的實根x1，x2，且不妨設x1＜x2，由題意得f(x1)＝0，f(x2)＝0．∴f(x1)＝f(x2)① 　　∵f(x)在其定義域上是單調函數，不妨設為增函數，由x1＜x2則f(x1)＜f(x2)②，因此①、②相矛盾．假設不成立，故f(x)＝0至多有一個零點．

提示：

思路分析：不妨設f(x)在R上是增函數，為證明f(x)＝0至多有一個實根，考慮用反證法證明． 　　思想方法小結：這是一個很明顯的結論，但證明起來無從下手．下面應用這個結論解決下面問題．