Question

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為．點P(1，)、A、B在橢圓E上，且＋＝m(m∈R)．

(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

(2)當m＝－3時，證明原點O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由＝及解得a2＝4，b2＝3， 　　橢圓方程為；2分 　　設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得 　　(x1＋x2－2，y1＋y2－3)＝m(1，)，即 　　又，，兩式相減得 　　；6分 　　(2)由(1)知，點A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐標滿足， 　　點P的坐標為(1，)，m＝－3，于是x1＋x2＋1＝3＋m＝0，y1＋y2＋＝3＋＋＝0， 　　因此△PAB的重心坐標為(0，0)．即原點是△PAB的重心． 　　∵x1＋x2＝－1，y1＋y2＝－，∴AB中點坐標為(，)，10分 　　又，，兩式相減得 　　； 　　∴直線AB的方程為y＋＝(x＋)，即x＋2y＋2＝0．(13分)