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已知橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,且經過M(2,1)、N(2
2
,0)
兩點,P是E上的動點.
(1)求|OP|的最大值;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,求證:直線MA與直線MB的傾斜角互補.
分析:(1)設橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),將M(2,1),N(2
2
,0)
代入橢圓E的方程,求得m,n即可;
(2)因為直線l平行于OM,且在y軸上的截距為b,所以可得直線l的方程為y=
1
2
x+b
.與橢圓的方程聯立,得到根與系數的關系,利用直線的斜率公式即可證明結論.
解答:解:(1)設橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
M(2,1),N(2
2
,0)
代入橢圓E的方程,得
4m+n=1
8m=1

解得m=
1
8
,n=
1
2

所以橢圓E的方程為
x2
8
+
y2
2
=1

設點P的坐標為(x0,y0),則|OP|2=
x
2
0
+
y
2
0

又P(x0,y0)是E上的動點,所以
x
2
0
8
+
y
2
0
2
=1
,得
x
2
0
=8-4
y
2
0

代入上式得|OP|2=
x
2
0
+
y
2
0
=8-3
y
2
0
,y0∈[-
2
2
]

故y0=0時,|OP|max=2
2
.|OP|的最大值為2
2

(2)因為直線l平行于OM,且在y軸上的截距為b,又kOM=
1
2
,
所以直線l的方程為y=
1
2
x+b
.由
y=
1
2
x+b
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2bx+2b2-4=0,
設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=-2b,x1x2=2b2-4
k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2
,
k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=
(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)

y1=
1
2
x1+b,y2=
1
2
x2+b
,
所以上式分子=(
1
2
x1+b-1)(x2-2)+(
1
2
x2+b-1)(x1-2)

=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k1+k2=0.
所以直線MA與直線MB的傾斜角互補.
點評:本題主要考查橢圓的方程與性質、直線斜率計算公式與直線方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識,考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數形結合、化歸與轉化思想.
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經過A(-2,0),B(2,0),C(1,
32
)
三點
(1)求橢圓方程
(2)若此橢圓的左、右焦點F1、F2,過F1作直線L交橢圓于M、N兩點,使之構成△MNF2證明:△MNF2的周長為定值.

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三點.
(1)求橢圓E的方程:
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(-1,0),H(1,0),當△DFH內切圓的面積最大時.求內切圓圓心的坐標.

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(2013•閔行區二模)已知橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,且經過M(2,1),N(2
2
,0)
兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,直線MA與MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.

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已知橢圓E的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(-1,0),H(1,0),當△DFH內切圓的面積最大時,求內切圓圓心的坐標;
(3)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程.

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