Question

已知橢圓E的中心在坐標原點O，兩個焦點分別為A（-1，0），B（1，0），一個頂點為H（2，0）．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）對于x軸上的點P（t，0），橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩個焦點分別為A（-1，0），B（1，0），上頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，
最后由橢圓的焦點在X軸上求得方程．
（2）利用向量垂直即可求得M點的橫坐標x₀，從而解決問題．

解答：解：（1）由題意得，c=1，a=2，則b=

3

故所求的橢圓標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設M（x₀，y₀）（x₀≠±2），則

x02

4

+

y02

3

=1      ①
又由P（t，0），H（2，0）．則

MP

=(t-x0，-y0)，

MH

=(2-x0，-y0)
由MP⊥MH可得

MP

•

MH

=0，即（t-x₀，-y₀）•（2-x₀，-y₀）=(t-x0)•(2-x0)+y02=0
由①②消去y₀，整理得t(2-x0)=-

1

4

x02+2x0-3    ②
∵x₀≠2，∴t=

1

4

x0-

3

2

∵-2＜x₀＜2，∴-2＜t＜-1
故實數t的取值范圍為（-2，-1）．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系、考查存在性問題，解題時要認真審題，仔細解答．