Question

有一種商品A、B兩地都有出售，且兩地的價格相同，但是某地區的居民從兩地往回運時，每單位距離A地的運費是B地的3倍．已知A、B兩地的距離是10千米．顧客購買這種商品，選擇從A地或者B地買的標準是，包括運費在內的總費用比較便宜．求A地的購物影響區域的面積（某地的購物影響區域是指選擇到該地購買商品的地區）．

Answer 1

分析：首先要建立以A或B為中心的購買區域，因為每單位距離A地的運費是B地運費的3倍，因此，顧客所在地到A地距離是到B地距離的

1

3

，以此為等量關系，所以滿足此條件的范圍應為某區域，由此可得結論．

解答：解：以A、B所確定的直線為x軸，A、B中點O為坐標原點，建立直角坐標系，
則A（-5，0）、B（5，0）．
設某地P的坐標為（x，y），且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設A地的運費為3a元/km，B地的運費為a元/km．
價格+x_A地運費≤價格+x_B地運費，所以3a

(x+5)2+y2

≤a

(x-5)2+y2

因為a＞0，所以3

(x+5)2+y2

≤

(x-5)2+y2

兩邊平方，得9（x+5）²+9y²≤（x-5）²+y²，即（x+

25

4

）²+y²≤（

15

4

）²．
所以，以點C（-

25

4

，0）為圓心、

15

4

為半徑的圓是這兩地購貨的分界線．
∴A地的購物影響區域的面積為(

15

4

)2=

225

16

π平方公里．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．