Question

已知

1

m

+

1

n

=1（m＞0，n＞0），當mn取得最小值時，直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1的交點個數為

2

．

Answer 1

分析：由基本不等式可求mn取得最小值時的m，n的值，然后討論：當x＞0，y＞0；②當x＞0，y＜0，③當x＜0，y＞0；④當x＜0，y＜0四種情況分別求出方程所表示的曲線，作出圖象能得到結果

解答：解：由基本不等式可得，1=

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

∴mn≥4
當且僅當

1

m

=

1

n

=

1

2

時等號成立，
也就是所以m=2，n=2．
∵曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1
∴①當x＞0，y＞0，x²+y²=2表示 圓心在原點，半徑為

2

的圓
②當x＞0，y＜0，x²-y²=2 以x軸為實軸的雙曲線；
③當x＜0，y＞0，y²-x²=2表示以y軸為實軸的雙曲線；
④當x＜0，y＜0，x²+y²=-2此時無解．
所以如圖得到圖象，
結合圖象知直線y=-

2

x+2與曲線交點個數是2個．
故答案為：2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，解題時要注意均值定理和分類討論思想、數形結合思想的合理運用．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，常因分類不清易出錯，是高考的重點．