Question

如圖所示，設△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D.求證：ED²=EC·EB.

Answer 1

證明略

證明 如圖所示，因為AE是圓的切線，
所以∠ABC=∠CAE.
又因為AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD=∠CAD.
從而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.
因為∠ADE=∠ABC+∠BAD，
∠DAE=∠CAE+∠CAD，
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.
因為EA是圓的切線，所以由切割線定理知，
EA²=EC·EB，
而EA=ED，所以ED²=EC·EB.