Question

動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發順次經過B、C、D再回到A，設x表示P點的行程，f（x）表示PA的長，g（x）表示△ABP的面積．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求g（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）動點P各有不同位置，計算PA也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解．
（2）△ABP的形狀各有特征，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解．

解答：解：（1）如原題圖，當P在AB上運動時，PA=x；
當P點在BC上運動時，由Rt△ABD?可得PA=

1+(x-1)2

；
當P點在CD上運動時，由Rt△ADP易得PA=

1+(3-x)2

；
當P點在DA上運動時，PA=4-x，故f（x）的表達式為：
f（x）=

x(0≤x≤1) x2-2x+2 (1＜x≤2) x2-6x+10 (2＜x≤3) 4-x(3＜x≤4)

（2）由于P點在折線ABCD上不同位置時，
如原題圖，當P在線段AB上時，△ABP的面積S=0；
當P在BC上時，即1＜x≤2時，S_△ABP=

1

2

AB•BP=

1

2

（x-1）；
當P在CD上時，即2＜x≤3時，S_△ABP=

1

2

•1•1=

1

2

；
當P在DA上時，即3＜x≤4時，S_△ABP=

1

2

（4-x）．
故g（x）=

0(0≤x≤1) 1 2 (x-1)(1＜x≤2) 1 2 (2＜x≤3) 1 2 (4-x)(3＜x≤4)

．

點評：本題主要考查了分段函數式的求法，背景是動點的軌跡特征不同，線段的長及三角形的面積也會隨著變化，其中蘊藏著函數的思想方法．