Question

（本小題滿分12分）已知函數在同一半周期內的圖象過點，其中為坐標原點，為函數圖象的最高點，為函數的圖象與軸的正半軸的交點．

（Ⅰ）試判斷的形狀，并說明理由．

（Ⅱ）若將繞原點按逆時針方向旋轉角時，頂點恰好同時落在曲線上（如圖所示），求實數的值．

Answer 1

（Ⅰ）為等邊三角形; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ） 因為函數，所以，所以函數的半周期為4，

所以． 又因為為函數圖象的最高點，所以點坐標為，所以， 又因為坐標為，所以，所以為等邊三角形． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以點,的坐標分別為,，代入，得，且， 所以，即可求出結果.解法二：（Ⅰ）因為函數，所以，所以函數的半周期為4，所以， 因為為函數的圖象的最高點，所以點坐標為，所以，所以． 又因為直線的斜率，所以，所以為等邊三角形．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以點,的坐標分別為,，

因為點,在函數的圖象上， 所以,可得，所以，進而求出結果.解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為等邊三角形．因為函數的圖象關于直線對稱， 由圖象可知，當時，點,恰在函數的圖象上． 此時點的坐標為， 所以，所以所求的實數的值為4．

試題解析：解法一：（Ⅰ）為等邊三角形． 1分

理由如下：

因為函數，

所以，所以函數的半周期為4，

所以． 2分

又因為為函數圖象的最高點，

所以點坐標為，所以， 4分

又因為坐標為，所以，

所以為等邊三角形． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以點,的坐標分別為,， 7分

代入，得，

且， 9分

所以，結合，，

解得， 11分

所以，所以所求的實數的值為4． 12分

解法二：（Ⅰ）為等邊三角形． 1分

理由如下：

因為函數，

所以，所以函數的半周期為4，所以， 2分

因為為函數的圖象的最高點，

所以點坐標為，所以，所以． 4分

又因為直線的斜率，所以，

所以為等邊三角形． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以點,的坐標分別為,， 7分

因為點,在函數的圖象上，

所以, 8分

所以, 9分

消去得， ，

所以，

所以，所以， 10分

又因為 ，所以，所以， 11分

所以．所以所求的實數的值為4． 12分

解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為等邊三角形．

因為函數的圖象關于直線對稱， 8分

由圖象可知，當時，點,恰在函數的圖象上． 10分

此時點的坐標為， 11分

所以，所以所求的實數的值為4． 12分.

考點：1.三角函數圖象與性質；2.數形結合思想.