Question

已知曲線C：y²-x²=2，將曲線C繞坐標原點順時針旋轉30°得到曲線C′．
（Ⅰ）求曲線C′的方程；
（Ⅱ）求曲線C′的焦點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出旋轉變換矩陣M，再推出任意一點在M的作用下后的點，代入即可求出曲線方程；
（Ⅱ）先求出曲線y²-x²=2的焦點坐標，然后將焦點坐標在旋轉變換矩陣的作用下后的點的坐標求出來即可．

解答：解：（Ⅰ）由題設條件知，旋轉變換矩陣為M=

cos(-30°) -sin(-30°) sin(-30°) cos(-30°)

=

3 2 1 2 - 1 2 3 2

，
在曲線C：y²-x²=2上去一點P（x，y），在變換矩陣M的作用下，變化到P′（x^′，y^′），
則T_M：[

x y

]→

x′   y′

=

3 2 1 2 - 1 2 3 2

•[

x y

]=

3 2 x+ 1 2 y   - 1 2 x+ 3 2 y

，
即有

x′= 3 2 x+ 1 2 y y′=- 1 2 x+ 3 2 y

，
解得：

x= 3 2 x′-  1 2 y′ y= 1 2 x′+ 3 2 y′

，代入曲線C的方程并化簡得：
x′²-2

3

x^′y^′-y′²=4．
∴曲線C^′為：x²-2

3

xy-y²=4．
（Ⅱ）因為曲線C的焦點坐標為（0，2）（0，-2），
由坐標變換公式解得焦點坐標為：（1，3），（-1，-3）．

點評：本題主要考查了旋轉變換，以及簡單曲線曲線的焦點坐標等有關知識，同時考查了計算能力．解決問題的關鍵在于求出旋轉矩陣．