Question

已知曲線C:x²+y²+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.

(1)求證:曲線C都表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上;

(2)證明:曲線C過定點;

(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.

Answer 1

(1)圓的圓心都在直線2x-y-5=0上. (2)曲線C過定點(1,-3). (3) .

解析:

(1)原方程可化為(x+k)²+(y+2k+5)²=5(k+1)².

∵k≠-1,?

∴5(k+1)²>0.?

故方程表示圓心為(-k,-2k-5),

半徑為的圓.

設圓心為(x,y),有

消去k,得2x-y-5=0.?

∴這些圓的圓心都在直線2x-y-5=0上.

(2)將原方程變形成?

k(2x+4y+10)+(x²+y²+10y+20)=0.?

上式關于參數k是恒等式,?

∴

解得

∴曲線C過定點(1,-3).

(3)∵圓C與x軸相切,

∴圓心到x軸的距離等于半徑,

即|-2k-5|=|k+1|.?

兩邊平方,得(2k+5)²=5(k+1)².

∴.