Question

已知雙曲線-=1的左、右焦點分別F₁、F₂，O為雙曲線的中心，P是雙曲線右支上的點，△PF₁F₂的內切圓的圓心為I，且⊙I與x軸相切于點A，過F₂作直線PI的垂線，垂足為B，若e為雙曲線的率心率，則（ ）
A．|OB|=e|OA|
B．|OA|=e|OB|
C．|OB|=|OA|
D．|OA|與|OB|關系不確定

Answer 1

【答案】分析：根據題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點H的橫坐標．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問題．
解答：解：F₁（-c，0）、F₂（c，0），內切圓與x軸的切點是點A
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圓的切線長定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，設內切圓的圓心橫坐標為x，
則|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=CF₁=（PF₁-PC）=（PF₁-PF₂）=×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
故選C．
點評：本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關鍵是充分利用平面幾何的性質，如三角形內心的性質等．