Question

已知

e1

，

e2

是平面上的一組基底，若

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-2λ

e1

-

e2

．
（1）若

a

與

b

共線，求λ的值；
（2）若

e1

，

e2

是夾角為60°的單位向量，當λ≥0時求

a

•

b

的最大值．

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角,平行向量與共線向量,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）喲偶

a

與

b

共線時可得-

2λ

1

=

-1

λ

，解方程可得；
（2）由數量積的運算可得

a

•

b

=-λ²-3λ-

1

2

，λ≥0，由二次函數區間的最值可得．

解答： 解：（1）∵

e1

，

e2

是平面上的一組基底，且

a

=

e1

+λ

e2

，

b

=-2λ

e1

-

e2

，
當

a

與

b

共線時可得-

2λ

1

=

-1

λ

，解得λ=±

2

2

；
（2）∵

e1

，

e2

是夾角為60°的單位向量，
∴

a

•

b

=（

e1

+λ

e2

）•（-2λ

e1

-

e2

）=-2λ-λ-（1+2λ²）×

1

2

=-λ²-3λ-

1

2

，
∵λ≥0，
∴由二次函數可知當λ=0時，上式取最大值-

1

2

點評：本題考查數量積與向量的夾角，涉及向量的平行和二次函數區間的最值，屬中檔題．