Question

平面內有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當•取最小值時，求的坐標；
（2）當點X滿足（1）的條件和結論時，求cos∠AXB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點X在直線OP上，向量 與 共線，可以得到關于 坐標的一個關系式，再根據 •的最小值，求得 的坐標，
（2）cos∠AXB是 與 夾角的余弦，利用數量積的知識易解決．
解答：解：（1）設 =（x，y），
∵點X在直線OP上，∴向量 與 共線．
又 =（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴=（2y，y）．又 =-，=（1，7），
∴=（1-2y，7-y）．
同樣 =-=（5-2y，1-y）．
于是 •=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12=5（y-2）²-8．
∴當y=2時，•有最小值-8，此時 =（4，2）．
（2）當 =（4，2），即y=2時，有 =（-3，5），=（1，-1）．
∴||=，||=．
∴cos∠AXB==-．
點評：（1）中求最值問題可轉化為函數最值問題解決，因此解題關鍵在于尋找變量，以構造函數；也可以利用 與 反向時，•有最小值進行求解．而（2）中即為數量積定義的應用．