Question

平面內有向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OP

=（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當

XA

•

XB

取最小值時，求

OX

的坐標；
（2）當點X滿足（1）的條件和結論時，求cos∠AXB的值．

Answer 1

分析：（1）因為點X在直線OP上，向量

OX

與

OP

共線，可以得到關于

OX

坐標的一個關系式，再根據

XA

•

XB

的最小值，求得

OX

的坐標，
（2）cos∠AXB是

XA

與

XB

夾角的余弦，利用數量積的知識易解決．

解答：解：（1）設

OX

=（x，y），
∵點X在直線OP上，∴向量

OX

與

OP

共線．
又

OP

=（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴

OX

=（2y，y）．又

XA

=

OA

-

OX

，

OA

=（1，7），
∴

XA

=（1-2y，7-y）．
同樣

XB

=

OB

-

OX

=（5-2y，1-y）．
于是

XA

•

XB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12=5（y-2）²-8．
∴當y=2時，

XA

•

XB

有最小值-8，此時

OX

=（4，2）．
（2）當

OX

=（4，2），即y=2時，有

XA

=（-3，5），

XB

=（1，-1）．
∴|

XA

|=

34

，|

XB

|=

2

．
∴cos∠AXB=

XA • XB

| XA || XB |

=-

4 17

17

．

點評：（1）中求最值問題可轉化為函數最值問題解決，因此解題關鍵在于尋找變量，以構造函數；也可以利用

XA

與

XB

反向時，

XA

•

XB

有最小值進行求解．而（2）中即為數量積定義的應用．