Question

【題目】設函數，其中， 是自然對數的底數.

（Ⅰ）若是上的增函數，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（I）由于函數單調遞增，故導函數恒為非負數，分離常數后利用導數求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉化為，令，求出的導數，對分成兩類，討論函數的最小值，由此證得，由此證得.

試題解析：

（Ⅰ）， 是上的增函數等價于恒成立.

令，得，令（）.以下只需求的最大值.

求導得，

令， ， 是上的減函數，

又，故1是的唯一零點，

當， ， ， 遞增；當， ， ， 遞減；

故當時， 取得極大值且為最大值，

所以，即的取值范圍是.

（Ⅱ） .

令（），以下證明當時， 的最小值大于0.

求導得 .

①當時， ， ；

②當時， ，令，

則 ，又 ，

取且使，即，則 ，

因為，故存在唯一零點，

即有唯一的極值點且為極小值點，又，

且，即，故，

因為，故是上的減函數.

所以 ，所以.

綜上，當時，總有.