Question

【題目】【2017重慶二診】已知函數，．

（1）分別求函數與在區間上的極值；

（2）求證：對任意， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上有極小值，無極大值； 在上有極大值，無極小值；（Ⅱ）見解析．

【解析】（Ⅰ）由題意，利用導數進行求解，首先求出函數極值點，再判斷極值點兩側的單調性，從而得出是否為極大值點，還是極小值點，問題即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可將分為和兩段進行證明，在區間上可比較兩個函數的極小值與極大值即，在區間上可考慮將兩函數作差構造新函數，再通過判斷新函數的單調性和最值，從而問題可得證．

試題解析：（Ⅰ） ， ，

故在和上遞減，在上遞增，

在上有極小值，無極大值； ， ，

故在上遞增，在上遞減，

在上有極大值，無極小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時， ， ，故；

當時， ，令，則，

故在上遞增，在上遞減， ， ；

綜上，對任意， ．