Question

已知直線l：（t為參數），曲線C₁：（θ為參數）．
（Ⅰ）設l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線C₂，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）將直線l中的x與y代入到直線C₁中，即可得到交點坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．
（II）將直線的參數方程化為普通方程，曲線C₂任意點P的坐標，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值即可．
解答：解：（I）l的普通方程為y=（x-1），C₁的普通方程為x²+y²=1，
聯立方程組，解得交點坐標為A（1，0），B（，-）
所以|AB|==1；

（II）曲線C₂：（θ為參數）．
設所求的點為P（cosθ，sinθ），
則P到直線l的距離d==[sin（）+2]
當sin（）=-1時，d取得最小值．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，根據曲線C₂的參數方程設出所求P的坐標，根據點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數來解決問題是解本題的思路．