Question

【題目】已知，記為正整數a的各位數字之和。試求正整數t的最小值，使得在任意t個連續的正整數中總能找到一個數c，滿足。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設.則

當10(a+1)時，f(a+1)=f(a)+1；

當時，

.

首先證明：在任意個連續正整數中，總能找到一個數c，滿足m|f(c).

若這t個數中有的倍數，設其為.

則f(a)=f(b)=s.

由，其中，u=0，1,...,8；v=0,1,...,k，知的f值為

，

其中，必有一個為9k+r的倍數.

由，其中，u=0，1,...,9；u=0,1,...,k，知的f值為

，

其中，必有一個為9k+r的倍數.

若這t個數中沒有的倍數，則其中有的倍數.設最小的倍數為a,f(a)=s.

同上，知的f值為，其中，必有一個為9k+r的倍數.

綜上，在個連續正整數中必有一數c，滿足m|f(c).

從而，.

其次，分三種情形求.

1 當r=1,2,4,5,7,8時，.

下面構造個連續正整數，使得其中沒有數c，滿足mlf(c).

取，滿足(9k+r)|(9i+1).則在中，只有首尾兩數的f值是9k+r的倍數.故中間的個連續正整數中沒有數c，滿足(9k+r)|f(c).

2 當r=3,6時，.

因個連續正整數中必有一數c，滿足(9k+r)|f(c).此時，3|f(c).而的末尾三數中各自只有一個數是3的倍數，故在連續個數A中首尾共個數可以去掉，即在個連續正整數中必有一數c，滿足(9h+r)|f(c).

下面構造個連續正整數，使得其中沒有數c，滿足m|f(c).

取，滿足(9k+r)|(9i+3)，則在至這個連續正整數中沒有數c，滿足(9k+r)|f(c).

3 當r=9時，.

類似(2)知，9|f(c)且的末尾九個數中各自只有一個數是9的倍數.

故在個連續正整數中必有一數c，滿足9(k+1)|f(c)，且在

至這個連續正整數中沒有數c，滿足9(k+1)|f(c).