Question

已知數列a₁,a₂,…,a₃₀,其中a₁,a₂,…,a₁₀是首項為1,公差為1的等差數列;a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差為d的等差數列;a₂₀,a₂₁,…,a₃₀是公差為d²的等差數列(d≠0).

(1)若a₂₀=40,求d;

(2)試寫出a₃₀關于d的關系式,并求a₃₀的取值范圍;

(3)續寫已知數列,使得a₃₀,a₃₁,…,a₄₀是公差為d³的等差數列,…,依次類推,把已知數列推廣為無窮數列.提出同(2)類似的問題〔(2)應當作為特例〕,并進行研究,你能得到什么樣的結論?

Answer 1

思路解析：

    前兩個小題較為容易,依據數列基本知識即可解決,問題(3)需要根據a₁,a₂,…,a₃₀、a₂₀,a₂₁,…,a₃₀、a₂₀、a₂₁,…,a₃₀各自特點進行合情推理.

解：

(1)a₁₀=10,a₂₀=10+10d=40,∴d=3.

(2)a₃₀=a₂₀+10d²=10(1+d+d²)(d≠0),a₃₀=10［(d+)²+］,

    當d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時,a₃₀∈［7.5,+∞).

(3)所給數列可推廣為無窮數列{a_n},其中a₁,a₂,…,a₁₀是首項為1,公差為1的等差數列,當n≥1時,數列a_10n,a_10n+1,…,a_10(n+1)是公差為dⁿ的等差數列.研究的問題可以是:試寫出a_10(n+1)關于d的關系式,并求a_10(n+1)的取值范圍.

    研究的結論可以是:由a₄₀=a₃₀+10d³=10(1+d+d²+d³),

    依次類推可得a_10(n+1)=10(1+d+…+dⁿ)=

    當d＞0時,a_10(n+1)的取值范圍為(10,+∞)等.