Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式為y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式，由此求得函數(shù)f（x）最小正周期，再由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間求出減區(qū)間；
（2）由x的范圍求出2x+

π

4

的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域，以及最值，

解答：解 （Ⅰ）由題設(shè)得：f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+2cos²x
=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
∴f（x）的最小正周期為π，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得，

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈z
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin(2x+

π

4

)+2∈[1，2+

2

]，
∴當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（x）取到最小值為1，當(dāng)x=

π

8

時(shí)，f（x）取到最大值為2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)區(qū)間和值域的求法，考查了整體思想．