Question

已知函數f(x)=

ex

x-2

．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）圖象在與y軸交點處的切線與兩坐標軸所圍成的圖形面積．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，根據函數的單調性與其導函數正負之間的關系求單調區間．
（2）先求出與y軸的交點，得到切線方程，最后根據切線方程與兩坐標軸的交點坐標得到面積．

解答：解：（1）函數的定義域為{x|x≠2}， f′(x)=

(x-3)ex

(x-2)2

當x＞3時，f'（x）＞0，
當x＜3且x≠2時，f'（x）＜0．
故函數f（x）的增區間為（3，+∞），減區間為（-∞，-2），（2，3）．
（2）函數f（x）的圖象與y軸交點坐標為(0， -

1

2

)，?∴f′(0)=

-3

4

故切線方程為y+

1

2

=-

3

4

x，
切線與兩坐標軸的交點分別為(0， -

1

2

)和(-

2

3

， 0)
∴所求圖象的面積S=

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

6

．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和函數的單調性與其導函數正負之間的關系．屬基礎題．