Question

設θ為第三象限角，試判斷

sin θ 2

cos θ 2

的符號．

Answer 1

分析：根據題意寫出角θ的集合，再求

θ

2

的集合，根據k取偶數和奇數兩種情況，分別判斷sin

θ

2

和cos

θ

2

的符號，進而得到式子

sin θ 2

cos θ 2

的符號．

解答：解∵θ為第三象限角，∴2kπ+π＜θ＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
kπ+

π

2

＜

θ

2

＜kπ+

3π

4

（k∈Z）．
當k=2n（n∈Z）時，2nπ+

π

2

＜

θ

2

＜2nπ+

3π

4

，此時

θ

2

在第二象限，
∴sin

θ

2

＞0，cos

θ

2

＜0，∴

sin θ 2

cos θ 2

＜0．
當k=2n+1（n∈Z）時，即（2n+1）π+

π

2

＜

θ

2

＜（2n+1）π+

3π

4

 （n∈Z），
即2nπ+

3π

2

＜

θ

2

＜2nπ+

7π

4

 （n∈Z），此時

θ

2

在第四象限．
∴sin

θ

2

＜0，cos

θ

2

＞0，因此

sin θ 2

cos θ 2

＜0，
綜上可知，

sin θ 2

cos θ 2

＜0．

點評：本題的考點是三角函數的符號應用和象限角的表示，即通過分類討論判斷出角

θ

2

的象限，再根據“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來判斷三角函數值的符號．