Question

f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）的圖象是經過點（3，-6），頂點為（1，2）的拋物線的一部分，
（1）求f（x）的解析式；
（2）畫出其圖象．并寫出f（x）的單調區間（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）由x≥0時f（x）的圖象是頂點為（1，2）的拋物線，可設f（x）=a（x-1）²+2，圖象過（3，-6）點，代入可求a的值，即得f（x）的解析式；由f（x）為奇函數，求出x＜0時f（x）的解析式．
（2）畫出函數圖象，從左向右圖象上升是增函數，對應區間是單調增區間；圖象下降是減函數，對應區間是單調減區間．

解答：（1）∵x≥0時f（x）的圖象是頂點為（1，2）的拋物線，∴設f（x）=a（x-1）²+2，
又f（x）的圖象過（3，-6）點，∴a（3-1）²+2=-6，∴a=-2；
即f（x）=-2（x-1）²+2．
當x＜0時，-x＞0，∵f（x）為奇函數，
∴當x＜0時，f（x）=-f（-x）=2（-x-1）²-2=2（x+1）²-2，
∴f（x）=

-2(x-1)2+2(x≥0) 2(x+1)2-2(x＜0)

；
（2）畫出函數圖象，如圖：；
單調增區間是[-1，1]，單調減區間是（-∞，-1]，[1，+∞）．

點評：本題考查了利用函數的奇偶性求函數的解析式，以及利用圖象判定函數的增減性的知識，是基礎題．