Question

已知橢圓的兩焦點F₁（-1，0）、F₂（1，0），P是橢圓上一點且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，則此橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1

．

Answer 1

分析：設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．已知P是橢圓上一點且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=2×2=2a，解得a=2．再利用b²=a²-c²即可得出．

解答：解：設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵P是橢圓上一點且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=2×2=2a，解得a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
故答案為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、等差中項，屬于基礎題．