Question

已知橢圓的兩焦點為F₁（-2，0），F₂（2，0），P為橢圓上一點，且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項．
（1）求此橢圓方程；
（2）若點滿足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的定義可得2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=8，又c=2，即可得出2a=8，再利用b²=a²-c²即可．
（2）利用余弦定理及橢圓定義即可得出|PF₁|•|PF₂|=48，再利用三角形的面積計算公式即可得出．

解答：解：（1）由已知得，c=2，2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=8⇒2a=8，∴a=4．
∴b²=a²-c²=16-4=12，
所求橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
（2）由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-16=2|PF1|•|PF2|•cos120°
即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|-16=-|PF1|•|PF2|，
解得|PF₁|•|PF₂|=48，
∴S△ABC=

1

2

|PF1|•|PF2|sin120°=12

3

，

點評：熟練掌握橢圓的定義及其性質、余弦定理及三角形的面積計算公式等是解題的關鍵．