Question

向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(-cosx，cosx)，函數(shù)f(x)=2

a

•

b

+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）若三角形ABC滿足f（A）=-1，求A的大小．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，設(shè)函數(shù)的對稱軸為x=m，由正弦函數(shù)的圖象可知f（m）=±

2

，即正弦函數(shù)等于±1，可得這個(gè)角等于kπ+

π

2

列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即為函數(shù)的對稱軸；
（2）由f（A）=-1，將x=A代入（1）化簡后的函數(shù)解析式，求出正弦函數(shù)值，根據(jù)A的范圍得到這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于A的方程，求出方程的解得到A的度數(shù)．

解答：解：（1）f(x)=2

a

•

b

+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
設(shè)其對稱軸為x=m，
由正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，當(dāng)f(m)=±

2

，即sin(2m-

π

4

)=±1，
可得：2m-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：m=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的對稱軸是x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
（2）由f（A）=-1，得sin(2A-

π

4

)=-

2

2

，
又-

π

4

＜2A-

π

4

＜

7π

4

，
所以2A-

π

4

=

5π

4

⇒A=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的對稱性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．