Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(cosx，cosx)，若f（x）=

a

•

b

，
求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期及f(

3π

8

)的值；
（Ⅱ）f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：利用向量的數量積以及二倍角的三角函數結合兩角和的正弦函數，化簡函數的表達式，
（Ⅰ）利用正弦函數的周期公式直接求解f（x）的最小正周期，直接求解f(

3π

8

)的值；
（Ⅱ）利用正弦函數的單調增區間求解函數f（x）的單調增區間．

解答：解：向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(cosx，cosx)，
f（x）=

a

•

b

=cos²x+sinxcosx
=

1

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
（Ⅰ）f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π，
f(

3π

8

)=

2

2

sin（2×

3π

8

+

π

4

）+

1

2

=

1

2

．
（Ⅱ）因為2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
-

3π

8

+kπ≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
所以f（x）的單調增區間為：[-

3π

8

+kπ，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點評：本題通過向量的數量積，三角函數的二倍角、兩角和的三角函數化簡函數的表達式，考查函數的基本性質，考查計算能力．