Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

2

，

2

)，若

a

•

b

=

8

5

，且

π

4

＜x＜

π

2

．
（1）求cos(x-

π

4

)和tan(x-

π

4

)的值；
（2）求

sin2x(1+tanx)

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積以及

a

•

b

=

8

5

得到sin（x+

π

4

）=

4

5

⇒cos（

π

4

-x）=

4

5

進而求出cos(x-

π

4

)，再利用同角三角函數的基本關系式即可求出tan(x-

π

4

)的值；
（2）先利用誘導公式以及兩角和的正切公式對所求進行整理，再把第一問的結論代入即可求出答案．

解答：解：因為：

a

•

b

=

2

cosx+

2

sinx=2sin（x+

π

4

）
∴2sin（x+

π

4

）=

8

5

⇒sin（x+

π

4

）=

4

5

⇒cos（

π

4

-x）=

4

5

．
（1）∴cos（x-

π

4

）=

4

5

．
∵

π

4

＜x＜

π

2

⇒0＜x-

π

4

＜

π

4

⇒sin（x-

π

4

）=

1-cos 2(x- π 4 )

=

3

5

．
∴tan（x-

π

4

）=

sin(x- π 4 )

cos(x- π 4 )

=

3 5

4 5

=

3

4

．
（2）∵

sin2x(1+tanx)

1-tanx

=sin2x•

1+tanx

1-tanx

=cos（

π

2

-2x）•tan（x+

π

4

）
=cos（2x-

π

2

）•cot（

π

4

-x）
=-cos2（x-

π

4

）•

1

tan(x- π 4 )

=-[2cos²（x-

π

4

）-1]×

1

3 4

=-[2×(

4

5

)2-1]×

4

3

=-

28

75

．

點評：本題主要考查向量和三角的綜合問題．解決問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．