【題目】已知定直線,定點
,以坐標軸為對稱軸的橢圓
過點
且與
相切.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)橢圓的弦的中點分別為
,若
平行于
,則
斜率之和是否為定值? 若是定值,請求出該定值;若不是定值請說明理由.
【答案】(1)(2)
斜率之和為定值
【解析】試題分析:(Ⅰ)設橢圓的標準方程為,由題意構建關于
的方程組,即可得橢圓方程.
(Ⅱ)設點P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQ∥MN,所以kPQ=kMN=1,
設直線PQ的方程為y=x+t,代入橢圓方程并化簡得:3x2+4tx+2t2﹣6=0,利用韋達定理可計算
試題解析:
(Ⅰ)設橢圓的標準方程為
橢圓過點
,所以
①,
將代入橢圓方程化簡得:
,
因為直線與橢圓
相切,所以
②,
解①②可得, ,所以橢圓方程為
;
(Ⅱ)設點,則有
,
由題意可知,所以
,設直線
的方程為
,
代入橢圓方程并化簡得:
由題意可知③
,
通分后可變形得到
將③式代入分子
,
所以斜率之和為定值
.
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【題目】已知橢圓,過右焦點
的直線
與橢圓
交于
兩點,且當點
是橢圓
的上頂點時,
,線段
的中點為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)延長線段與橢圓
交于點
,若
,求此時
的方程.
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【題目】(1)已知a,b,N都是正數,a≠1,b≠1,證明對數換底公式:logaN=;
(2)寫出對數換底公式的一個性質(不用證明),并舉例應用這個性質.
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【題目】下列命題中,錯誤的是( )
A. 在中,
則
B. 在銳角中,不等式
恒成立
C. 在中,若
,則
必是等腰直角三角形
D. 在中,若
,
,則
必是等邊三角形
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【題目】,
為兩個不同的平面,
,
為兩條不同的直線,下列命題中正確的是( )
①若,
,則
; ②若
,
,則
;
③若,
,
,則
④若
,
,
,則
.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【題目】已知過點的圓
的圓心
在
軸的非負半軸上,且圓
截直線
所得弦長為
.
(1)求的標準方程;
(2)若過點且斜率為
的直線
交圓
于
、
兩點,若
的面積為
,求直線
的方程.
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【題目】某上市公司股票在30天內每股的交易價格P(元)關于時間t(天)的函數關系為,該股票在30天內的日交易量Q(萬股)關于時間t(天)的函數為一次函數,其圖象過點
和點
.
(1)求出日交易量Q(萬股)與時間t(天)的一次函數關系式;
(2)用y(萬元)表示該股票日交易額,寫出y關于t的函數關系式,并求在這30天內第幾天日交易額最大,最大值為多少?
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