Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且當x≠o時，f（x）≠0．
（1）求證：f（0）=0
（2）證明：f（x）是偶函數．并求f（x）的表達式
（3）若f（x）=alnx有兩個不同實數解，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）²，
∵當x≠0時，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數；
（3）∵f（x）=alnx有兩個不同實數解，
∴令h（x）=f（x）-alnx=x²-xlnx，
∴h′（x）=2x-，令h′（x）=0，
解得x=±，
當-＜x＜時，h′（x）＜0，f（x）單調減函數；
當x≥或x≤-時，h′（x）＞0，f（x）單調增函數；
如下圖：要求h（x）與x軸有兩個交點，
可得h（-）=0，
∴a=
分析：（1）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，即可求解；
（2）求出f（x）的表達式再判斷奇偶性，由f（xy）=f（x）f（y），令x=y=1，得f（1）=1，再令y=x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，求出f（x），即可求解．
（3）令h（x）=f（x）-alnx，對其求導，求出h（x）的單調區間，畫出草圖，即可求解；
點評：此題考查抽象函數的問題，這類題一般都利用特殊值法，先求出幾個特殊值f（0），f（1）等，看似很難其實比較簡單，最后一問用到了利用導數來求函數的單調區間，其中構造函數h（x）很關鍵．