Question

【題目】在三棱柱中，是正三角形，，點在底面上的射影恰好是中點，側棱和底面成角.

（1）求證：；

（2）求二面角的大小；

（3）求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）二面角的大小為.

（3）直線與平面所成角為

【解析】

(1)先證明平面，根據線面垂直的定義即可得結論；

(2)建立空間直角坐標系，分別求出平面，平面的法向量，求出兩法向量的夾角，結合圖形即可求解；

(3)根據（2）求出的平面的法向量，結合直線的方向向量，即可求解.

(1)連接，因為為的中點，為正三角形，所以,由點在底面上的射影為，所以平面,所以所以平面,又平面,所以.

(2)以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系如圖. 則 因為側棱和底面成角，所以,則,設平面的一個法向量為，則即令，則.設平面的一個法向量為，則即令，則.所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大小為.

(3)由（2）可知平面的法向量為，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角為