Question

【題目】已知拋物線的焦點為，若△的三個頂點都在拋物線上，且，則稱該三角形為“核心三角形”.

（1）是否存在“核心三角形”，其中兩個頂點的坐標分別為和？請說明理由；

（2）設“核心三角形”的一邊所在直線的斜率為4，求直線的方程；

（3）已知△是“核心三角形”，證明：點的橫坐標小于2.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見解析.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）利用求得第三個點的坐標，由此判斷出這樣的“核心三角形”不存在.

（2）設出直線的方程，與拋物線方程聯立，寫出韋達定理，根據求得點的坐標并代入拋物線方程，由此求得的值，進而求得直線的方程.

（3）設出直線的方程并與拋物線方程聯立，寫出判別式和韋達定理，利用求得點的坐標并代入拋物線方程，

（1）由于，即，即

，所以

第三個頂點的坐標為，

但點不在拋物線上，

∴這樣的“核心三角形”不存在.

（2）設直線的方程為，與聯立并化簡得：

設，，，

，，

由（1）得，即，所以

由得：，，

代入方程，解得：，∴直線的方程為.

（3）設直線的方程為，與聯立并化簡得：，

∵直線與拋物線相交，∴判別式， 即.

，∴，

由，得，即

點的坐標為，

又∵點在拋物線上，∴，得，

∵，即，∴，

∴點的橫坐標.