Question

【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同學特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機選1所；而同學乙和丙對四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機選2所.

（ⅰ）求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率；

（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數，求隨機變量的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）分布列見解析，期望為.

【解析】

（Ⅰ）先根據古典概型概率求甲同學選高校的概率，同理可得乙、丙同學選高校的概率，最后根據獨立事件概率乘法公式得結果，（Ⅱ）（ⅰ）先根據古典概型概率求甲同學選高校的概率以及乙、丙未選高校的概率，最后根據獨立事件概率乘法公式得結果，（ⅱ）先確定隨機變量的取法，再分別求對應概率，列表得分布列，最后根據數學期望公式得結果.

（Ⅰ）甲從四所高校中選2所，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六種方法，

甲同學都選高校，共有AD,BD,CD三種方法，甲同學選高校的概率為，

因此乙、丙同學選高校的概率皆為，

因為每位同學彼此獨立，所以甲、乙、丙三名同學都選高校的概率為

（Ⅱ）（ⅰ）甲同學必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因為每位同學彼此獨立，所以甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率，

（ⅱ）

因此，，

，

，

即分布列為

	0	1	2	3
P

因此數學期望為