Question

a,b,c為實數，且a=b+c+1.證明：兩個一元二次方程x²+x+b=0,x²+ax+c=0中至少有一個方程有兩個不相等的實數根.

Answer 1

假設兩個方程都沒有兩個不等的實數根，則

Δ₁=1-4b≤0,Δ₂=a²-4c≤0,∴Δ₁+Δ₂=1-4b+a²-4c≤0.

∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a²≤0,

即a²-4a+5≤0.但是a²-4a+5=(a-2)²+1＞0,故矛盾.

所以假設不成立，原命題正確，即兩個方程中至少有一個方程有兩個不相等的實數根.

解析:

證明  假設兩個方程都沒有兩個不等的實數根，則

Δ₁=1-4b≤0,Δ₂=a²-4c≤0,∴Δ₁+Δ₂=1-4b+a²-4c≤0.

∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a²≤0,

即a²-4a+5≤0.但是a²-4a+5=(a-2)²+1＞0,故矛盾.

所以假設不成立，原命題正確，即兩個方程中至少有一個方程有兩個不相等的實數根.